かんざえもん

文章を書いている間の脳みそのドライブ感を楽しみたいブログ

26の話と数学をしているという話

 

 

 

 

26の話

今から26の話をする。

 

私は現在のところ、25歳である。

あと少しすれば、26歳となる。

 

26という数の話をする。

 

 

平方数

 

平方数の定義をする。

 

平方数とは、ある整数の2乗になっているような数のことをいう。

 

正の整数 nが平方数であるとは、

n=m^2となる整数 mがある、ということ。

 

たとえば、

  • 4
  • 9
  • 144
  • 25
  • 100

などはすべて平方数である。

 

なぜなら、

  •  4 = 2^2
  •  9 = 3^2
  • 144 = 12^2
  •  25 = 5^2
  •  100 = 10^2

だからである。

 

 

立方数

 

立方数の定義をする。

 

立方数とはある整数の3乗になっているような整数のことである。

 

正の整数 nが立方数であるとは、

n=m^3となる整数 mがある、ということ。

 

たとえば、

  •  27 = 3^3
  •  8 = 2^3
  •  64 = 4^3

などが、立方数である。

 

 

では、問題。

 

12は平方数、あるいは、立方数か?否か?

 

 

答え。

 

平方数でも、立方数でもない。

 

なぜなら、 12 = 2 * 2 * 3であり、平方数の定義、立方数の定義、どちらにもそぐわないから。

 

26の話

 

 26は、実は、

立方数と平方数に挟まれる整数である。

 

...25 26 27...

 

と数は並んでいて、

  •  25 = 5^2
  •  27 = 3^3

である。

 

26は平方数25と、立方数27に挟まれている

 

 

 で、実は、平方数と立方数に挟まれる整数は、「26」ただ一つである。

 

平方数と立方数に挟まれる整数は、「26」ただ一つである。

 

この事実を僕はどこで知ったかと言うと、

ネットに落ちていた記事で、数学科の学生がもしも合コンしたら、、

みたいな記事があって、

 

学生「君たち、何歳?」

女子「26歳!」

学生「26なんだ!平方数と立方数に挟まれる唯一の歳だね」

女子「しら~~」

 みたいなことが紹介されていたことで知った。

 

 

 今年、26歳になる僕は、

 

平方数と立方数に挟まれる整数は、「26」ただ一つである

 

 ということを証明することに決めた。

ただ一つである、ということの証明がかなり難しい。無限にある数を持ち出して、これは違うなぁ、としなければならない(例えば、コンピュータなら))

 

 

 

で。

 

 y^2を平方数、 x^3を立方数とすると、

この二数の差が、「2」になれば、いいわけなので、

(実際、27-25=2である)

 

 x^3 - y = 2

 

という方程式が成り立つ (x , y)を見つけようという話になる。

ただし、 x, y はどちらも整数。このような点 (x, y)整点という。

 

 

上記の式を移行した式

 y^2 = x^3 - 2

 

は、楕円曲線という図形を定義する方程式(つまり、この式をみたす点 (x, y)を平面上にプロットしていけば、ある図形が浮かび上がり、その図形は、楕円曲線という名前の図形である、ということ)となる。

 

 

というわけで、楕円曲線を学んでいこう、となったのだが、

 

 

平方数と立方数に挟まれる整数は、「26」ただ一つである

 

 を証明するには、代数的整数環の話が分かっていればよく、楕円曲線の知識までは必要ではなかった、、、(;^ω^)

 

 

がふ。

 

 

26歳まであと数ヶ月くらいはあるから、

大域体上での楕円曲線を学び、そのためには局所体上の楕円曲線を学び、そのためにはそもそも局所体を学び、局所類体論を学び、、と長い道のりになるのかと思っていたのだけれども、

案外そうでもなくて、

ちょっとガックシ来ている節もある。

 

 

ある一つの事実だけを証明するのであれば、あまり、大きな理論体系といったものは必要ないのかもしれない。

理論体系が必要ないのであれば、それに伴う数学的世界観も必要ないかもしれない。

 

なぜ、数学の理論体系を学ぼうとするかと言うと、その理論が語る数学的世界観を脳内に構築して、楽しみたいからだと思う。

 

ディズニーの映画をたくさん見て、ディズニーの世界観に浸って、私もいつか白馬に乗った王子様と巡り合うんだぁと思い込んで、しみったれた現実を生きる張り合いを手に入れたい、みたいなそんな感じに近いのだろう。

 

だから、理論体系を学ぶ。

 

 

だから、

平方数と立方数に挟まれる整数は、「26」ただ一つである

 という事実は事実として、置いておいて、

 

もっと大きな事実

楕円曲線の整点は、有限個である

という定理を証明することを目指してみようかと思っている。(難しいから普通に挫折する可能性が高い)

 

有理数体上の楕円曲線とp進数体上の楕円曲線、有限体上の楕円曲線、、そのいろいろな数世界の上での楕円曲線の振る舞いを学ぶ必要がある。

 

とにかく、楕円曲線は奥が深い。